Отражающая функция позволяет по состоянию системы x(-t) в прошедший момент времени (-t) построить ее будущее состояние x(t) в симметричный момент времени (t). К этому понятию легко придем, отправляясь от широко используемого понятия отображения П(x)=φ(ω;-ω,x) за период [-ω;ω] для 2ω-периодической дифференциальной системы с общим решением φ(t;t₀,x), если заменить в П(х) полупериод ω на момент времени (-t). Тогда отражающая функция F(t,x) получит свое выражение через общее решение в виде F(t,x)=φ(-t;t,x). Из самого определения отражающей функции следует, что F(-ω,x) представляет собой отображение за период [-ω;ω] для 2ω-периодической дифференциальной системы. Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные (-ω,x₀) для 2ω-периодических решений φ(t;-ω,x₀) рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость. Отражающая функция F(t,x) системы dx/dt=X(t,x) удовлетворяет так называемому основному соотношению

F_t+F_xX+X(-t,F)=0, F(0,x)=x.

Это обстоятельство и позволяет использовать отражающую функцию. С ее помощью легко установить, что для многих неинтегриуемых в квадратурах систем отображение П(х) за период [-ω;ω] может быть найдено и выписано даже через элементарные функции. Здесь ситуация напоминает ситуацию с интегрирующим множителем, с той лишь разницей, что знание интегрирующего множителя позволяет выписать общее решение рассматриваемого уравнения. Знание же отражающей функции позволяет выписать отображение П(х), хотя общее решение может при этом оставаться неизвестным.

• Больше об отражающей функции:
  • в формате .pdf
  • в формате .ps
  • в формате .tex